Download Gampang Power Point Dan Pdf Materi Bimbing Matriks Sma Kelas X Semster 1 Persamaan Matrik Dengan Memakai Sifat Dan Operasi Matrik
1. Bahan Ajar Matriks Sekolah Menengan Atas Kelas X semster 1 persamaan matrik dengan memakai sifat dan operasi matrik
2. mendeskripsikan operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. (KI 3) Menyajikan model matematika dari suatu• persoalan positif yang berkitan dengan matriks. (KI 4 ) Mengetahui pengertian dan istilah pada matrik Mengetahui elemen pada matriks Mengetahui jenis-jenis matriks Mengetahui kesamaan dua matriks Mengetahui operasi pada matriks Mengetahui transpose suatu matriks Mengetahui Aplikasi Matriks dalam kehidupan sehari-hari / bidang ilmu lain Dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian Sistem Persamaan Linear Sifat penjumlahan, pengutangan dan perkalian bilangan real Mengidentifikasi konsep matriks• Mendeskripsikan matriks• Menguraikan ciri matriks• Menyebutkan pengertian baris pada matriks• Menyebutkan pengertian kolom pada• matriks Menyebutkan pengertian elemen pada• matriks Menyebutkan pengertian ordo pada matriks• Menyebutkan jenis-jenis matriks• Mencontohkan jenis matriks• Menyatakan syarat kesamaan dua matriks• Mendapatkan transpos matriks• Menghitung determinan matriks• Menghitung invers matriks• Memecahkan persoalan sederhana yang• berkaitan dengan matriks
Download Praktis Power Point Bahan Ajar Matriks Sekolah Menengan Atas Kelas X semster 1 dan 2 [DOWNLOAD]
Download PDF Bahan Ajar Matriks Sekolah Menengan Atas Kelas X semster 1 dan 2 [DOWNLOAD]
3. : PETA KONSEP Matriks Definisi Istilah pada Matriks Bentuk dan Ciri Matriks Jenis-jenis Matriks Relasi Traspos Matriks Operasi pada Matriks Matriks Baris Matriks Kolom Matriks Pesegi Matriks Nol Matriks Segitiga Matriks Diagonal Matriks Identitas / Satuan Matriks Datar Matriks Tegak Matriks Skalar Baris Kolom Elemen Ordo Kesamaan dua Matriks Penjumlahan Pengurangan Perkalian suatu bilangan real terhadap Matriks Perkalian Matriks Aplikasi Determinan MatriksInvers Matriks
4. Fiksi Nonfiksi Pengetahuan umum Anak-anak 25 9 5 Remaja 40 35 20 Dewasa 30 50 45 Angka-angka yang ada di dalam kotak merupakan jumlah orang yang meminjam buku berdasarkan jenis buku yang dipinjam dan usia peminjam, ternyata, bentuk tabel di atas sanggup dibentuk lebih sederhana lagi menjadi 25 9 5 40 35 20 30 50 45 Bentuk ini disebut sebagai matriks, yang terdiri atas sejumlah baris dan kolom. Baris pertama yaitu 25 9 5 merupakan banyaknya peminjam dari kalangan anak-anak, angka 25 mengatakan banyak anak- anak yang meminjam buku fiksi, angka 9 mengatakan banyaknya bawah umur yang meminjam buku nonfiksi, dan seterusnya. Kolom pertama yaitu 25 40 30 merupakan banyaknya buku fiksi yang dipinjam, angka 40 mengatakan banyaknya buku fiksi yang dipinjam oleh remaja, angka 30 mengatakan banyaknya buku fiksi yang dipinjam oleh dewasa, dan seterusnya. Pada bentuk matriks di atas, mempunyai tiga baris dan tiga kolom, dan selanjutnya dinamakan matriks berordo tiga. Dengan memakai matriks, bentuk yang lebih kompleks sanggup ditampilkan menjadi lebih sederhana. Mungkin matriks merupakan hal yang gres bagi kalian, tetapi mempelajari matriks tidaklah sulit. Selama kalian teliti dalam perhitungan dan memahami rumus yang diberikan, permasalahan mengenai matriks tentu sanggup kalian atasi. Ada beberapa sifat matriks yang perlu kalian perhatikan. Untuk mengetahuinya, sanggup kalian pelajari pada kepingan ini. Pernahkah kalian mengamati skema tempat duduk di kelas? Berdasarkan skema tersebut, pada baris dan kolom berapakah kalian berada? Siapa sajakah yang duduk pada baris pertama? Dengan memakai matriks, kalian sanggup meringkas penyajian skema tersebut sehingga dengan gampang diketahui letak tempat duduk kalian dan teman-teman kalian. Seorang statistikawan sedang melaksanakan penelitian pada sebuah perpustakaan yang ada di suatu kota mengenai minat baca anggota perpustakaan bedasarkan usia dan jenis buku. Ia mengelompokkan usia menjadi tiga kepingan yaitu bawah umur (≤12 tahun), remaja (12 tahun< x < 20 tahun) dan cukup umur (>20 tahun), sedangkan jenis buku dikelompokkan menjadi buku fiksi, non fiksi, dan pengetahuan umum. Hasil penelitian yang diperoleh dituliskan dalam tabel sebagai berikut.
5. Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita di hadapkan pada persoalan untuk menampilkan data atau informasi dalam bentuk tabel atau daftar. Perhatikan data atau informasi data wisudawan FMIPA UPLI pada April 2003 pada tabel1 dan data ketidakhadiran suatu kelas dalam rentang waktu satu semester pada Tabel 2. Tabel 1 Jurusan Banyak Wisudawan Program Kependidikan Program Non kependidikan Matematika 34 8 Fisika 45 6 Biologi 51 12 Kimia 23 13 Tabel 2 Sakit Ijin Tanpa Keterangan Budi 1 1 3 Carli 3 2 0 Dodi 2 1 1 Sekarang marilah kita amati kembali kelompok-kelompok bilangan yang diperoleh daru Tabel 1 dan Tabel 2. Kelompok bilangan yang dipeoleh dari Tabel 1 adalah Kelompok bilangan yang diperoleh dari tabel 2 adalah Mengenal Bentuk dan Ciri MatriksA. 34 8 45 6 51 12 Susunan bilangan ini berbentuk persegi panjang 1 1 3 3 2 0 2 1 1 Susunan bilangan ini berbentuk persegi 23 13
6. Matriks yaitu kelompok bilangan yang diatur berdasarkan hukum baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang atau persegi. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”. Nama suatu matriks biasanya dilambangkan dengan aksara kapital, ibarat A, B, C, … dst. Definisi Matriks Apakah kelompok bilangan berikut merupakan matriks ? a. 3 2 −3 9 c. 4 8 b. 5 7 1 2 −1 9 d. 4 7 3 6 Ayo Amati 3 9 Menurut definisi matriks maka: a. Kelompok bilangan 3 2 −3 9 merupakan matriks, alasannya yaitu susunannya berbentuk persegi dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom. b. Kelompok bilangan 5 7 1 2 −1 9 merupakan matriks, alasannya yaitu susunannya berbentuk persegi panjang dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom. c. Kelompok bilangan . 4 8 bukan matriks, alasannya yaitu susunannya tidak berbentuk persegi maupun persegi panjang, tetapi segitiga. d. Kelompok bilangan 4 7 3 6 bukan matriks, alasannya yaitu susunannya tidak berbentuk persegi maupun persegi panjang, tetapi segilima. 3 9
7. Baris dari suatu matriks yaitu kepingan susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horizontal dalam matriks. Kolom dari suatu matriks yaitu kepingan susunan bilangan yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks. Sedangkan elemen atau unsur suatu matriks yaitu bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu. Elemen dari suatu matriks dinotasikan dengan aksara kecil ibarat a, b, c, ... dan biasanya diadaptasi dengan nama matriksnya. Misalkan pada matriks A, elemen- elemennya biasanya dinyatakan dengan a. Biasanya elemen-elemen dari suatu matriks diberi tanda indeks, contohnya yang artinya elemen dari matriks A yang terletak pada baris i dan kolom j. * 2 1 5 −1 7 9 −7 8 4 2 6 4 + Pengertian dan Istilah dalam MatriksB. Pengertian Baris, Kolom, dan Elemen Matriks Contoh Baris pertama dengan elemen-elemen 2, 1 dan 5 Baris kedua dengan elemen-elemen -1, 7 dan 9 Baris ketiga dengan elemen-elemen -7, 4 dan 6 Baris keempat dengan elemen-elemen 8, 2 dan 4 Kolom ketiga dengan elemen-elemen 5,9,6 dan 4 Kolom kedua dengan elemen-elemen 1,7,4 dan 2 Kolom pertama dengan elemen-elemen 2, -1, -7 dan 8 Pada tabel berikut ditunjukkan jarak antara dua kota dalam kilometer (km). Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta Surabaya Bogor Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta Surabaya Bogor 0 130 367 428 675 126 130 0 237 317 545 256 367 237 0 115 308 493 428 317 115 0 327 554 675 545 308 327 0 801 126 256 493 554 801 0 a) Dengan menghilangkan judul baris dan judul kolom, tulislah matriks yang diperoleh! b) Berapa banyak baris dan banyak kolom yang Anda peroleh dari soal a)? c) Sebutkan elemen-elemen pada setiap baris! d) Sebutkan elemen-elemen pada setiap kolom! Ayo Berlatih
8. Banyak baris dan kolom dari suatu matriks memilih ordo atau ukuran bagi matriks itu. Bilangan 2 3 yang ditulis agak ke bawah di sebut sebagai subscrip atau indeks. Jika diamati lebih lanjut, banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh 2 3 = 6 yaitu merupakan hasil kali antara banyak baris dengan banyak kolom dari matriks A. Misalkan matriks A terdiri atas m baris dan n kolom, maka matriks A dikatakan berordo dan ditulis sebagai . Banyak elemen matriks A yaitu ( buah dengan elemen-elemen matriks itu dilambangkan dengan (i dari 1 hingga dengan m dan j dari 1 hingga dengan n). secara umum matriks A sanggup ditulis dengan notasi berikut: ( ) Pengertian Ordo Matriks π΄ 17 13 15 16 15 1 Berapakah banyak baris dari matriks A? (2) Berapakah banyak kolom dari matriks A? (3) Dalam hal demikian matriks A dikatakan berordo atau berukuran 2 3 dan dituliskan dengan memakai notasi π΄ Ayo perhatikan Ordo atau Ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu. Ordo suatu matriks ditulis sebagai perkalian dua buah bilangan bundar positif dengan bilangan pertama menyatakan benyaknya baris, dan bilangan kedua menyatakan banyaknya kolom. Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks itu. Banyak baris = m Banyak kolom = n
9. Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks yaitu sebagai berikut : Matriks baris yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja. Matriks baris berordo 1 , dengan n yaitu jumlah kolom. Contoh : (1 −1 5 2 9 3 , matriks A merupakan matriks baris yang terdiri atas 6 kolom, mempunyai 6 elemen, serta berordo 1 × 6. (−3 7 −1 , matriks B merupakan matriks baris yang terdiri atas 3 kolom, mempunyai 3 elemen, serta berordo 1 × 3. Matriks baris yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja. Matriks baris berordo 1, dengan m yaitu jumlah baris. Contoh : ( 4 −9 1 3 ), matriks C merupakan matriks kolom yang terdiri atas 3 baris, mempunyai 3 elemen, serta berordo 3 × 1. ( −2 −5 7 12 0 6 5 ) , matriks D merupakan matriks kolom yang terdiri atas 7 baris, mempunyai 7 elemen, serta berordo 7 × 1. Misalkan suatu matriks berordo m×n dengan nilai m=n, sehingga diperoleh matriks berordo n×n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom disebut juga matriks persegi berordo/ berukuran n. Contoh : 1 −1 4 7 , matriks E merupakan matriks persegi berordo dua. Jenis MatriksC. 1. Matriks Baris Jumlah elemen pada matriks baris sama dengan jumlah kolomnya. 2. Matriks Kolom Jumlah elemen pada matriks kolom sama dengan jumlah barisnya. 3. Matriks Persegi
10. ( 5 3 6 −7 8 0 3 2 1 1 −4 7 8 11 0 1 ), matriks F merupakan matriks persegi berordo empat. ( 1 4 5 7 6 −3 0 3 3 ) Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jikalau semua elemennya sama dengan nol, tumpuan : ( 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jikalau elemenelemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yang ada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jikalau elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah. Matriks segitiga dengan elemen-elemen di bawah diagonalnya utama semuanya bernilai nol ( 2 −1 4 0 7 6 0 0 1 ) Matriks segitiga dengan elemen-elemen di atas diagonalnya utama semuanya bernilai nol ( 1 0 0 0 −3 5 0 0 7 4 9 −2 8 0 10 3 ) π π π π π π ππ Diagonal samping (DS) Diagonal Utama (DU) Dalam suatu matriks persegi, elemen-elemen yang terletak pada garis hubung elemen π dengan elemen π ππ dinamakan sebagai diagonal utama (DU), sedangkan elemen- elemen yang terletang pada garis hubung elemen π π dengan elemen π π dinamakan sebagai diagonal samping (DS). Berikut ini diberikan tumpuan bagaimana memilih letak elemen-elemen pada diagonal utama dan letak elemen- elemen pada diagonal samping dari suatu matriks persegi. Diagonal samping (DS) Diagonal Utama (DU) Elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama yaitu 6, -3 dan 5. Sedangkan elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping yaitu 5, -3 dan 6. 4. Matriks Nol 5. Matriks Segitiga
11. Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jikalau elemenelemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Contoh: ( 1 0 0 0 −3 0 0 0 7 ) , −3 0 0 4 Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jikalau semua elemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan. Matriks identitas berordo n dilambangkan dengan . ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 1 0 0 1 ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ) Misalkan suatu matriks berordo m×n dengan m<n, ini berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris. Oleh lantaran kolomnya lebih banyak dibandingkan dengan barisnya, maka susunan elemen-elemennya akan memanjang atau mendatar. Matriks yang berciri demikian disebut dengan matriks datar. 1 −1 5 0 11 7 , ( 4 −5 1 2 7 4 6 −7 5 11 2 3 ) Jika m>n maka banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang tegak. Matriks yang berciri demikian disebut sebagai matriks tegak. ( 1 −1 2 3 5 −2 ) ( 7 11 3 −4 −7 8 4 6 ) Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jikalau semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya mempunyai nilai yang sama, ( 2 0 0 0 2 0 0 0 2 ) ( −3 0 0 0 0 −3 0 0 0 0 0 0 −3 0 0 −3 ) 6. Matriks Diagonal 7. Matriks Identitas / Matriks Satuan 8. Matriks Datar 9. Matriks Tegal 10. Matriks Skalar
12. Kesamaan Dua MatriksD. Dua kompleks perumahan ruko di kawasan Tangerang mempunyai ukuran yang sama dan bentuk bangunan yang sama. Gambar di bawah ini mendeskripsikan skema pembagian gedung-gedung ruko tersebut. Dari skema di atas sanggup dicermati bahwa Blok Asama dengan Blok B, lantaran banyak Ruko di Blok Asama dengan banyak Ruko di Blok B. Selain itu, penempatan setiap Ruko di Blok A sama dengan penempatan Ruko di Blok B. Artinya 10 Ruko di Blok Adan Blok B dibagi dalam dua jajaran. Ayo Amati Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A= B), jikalau dan hanya jika: [i] Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. [ii] Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B, πππ = πππ (untuk semua nilai i dan j)
13. Untuk matriks-matriks berikut ini, tentukan matriks-matriks mana saja yang sama. 1 3 −4 5 3 4 1 −5 1 3 −4 5 Jawab : Matriks Y dan P berordo sama, akan tetapi elemen-elemen yang seletak tidak sama. Kaprikornus Y tidak sama dengan P, ditulis Y≠P. Matriks Y dan Q berordo sama, akan tetapi elemen-elemen yang seletak tidak sama. Kaprikornus Y tidak sama dengan Q, ditulis Y=Q. Matriks P dan Q berordo sama, akan tetapi elemen-elemen yang seletak tidak sama. Kaprikornus P tidak sama dengan Q, ditulis P≠Q. Misalkan diketahui matriks A dan matriks B sebagai berikut: ( 2 −3 3 2 ) 2 −3 9 14 Jika matriks A dan matriks B, tentukan nilai x dan y. Jawab: Matriks A berordo 2×2 dan matriks B juga berordo 2×2, sehingga ordo matriks A=ordo matriks B. Ini berarti syarat perlu bagi kesamaan dua matriks telah terpenuhi. Syarat cukup bagi kesamaan matriks A dan matriks B yaitu yang seletak harus bernilai sama, sehingga diperoleh hubungan: 33 9 12 14 Kaprikornus jikalau A=B maka nilai x=3 dan nilai y=7. Contoh 2 Contoh 1 π 1 3 −4 5 π 1 3 −4 5 Elemen seletak Elemen seletak
14. Transpos suatu MatriksE. Dalam mendapat informasi yang berbentuk tabel, kadang kala Anda mendapat dua tabel yang berbeda namun mempunyai makna yang sama. Sebagai ilustrasi, perhatikan tumpuan berikut. Sebuah forum kursus bahasa aneh mempunyai jadwal kursus Bahasa Inggris, Bahasa rab, dan Bahasa Mandarin. Pada forum tersebut, jumlah kelas kursus pada setiap jadwal di setiap harinya tidak selalu sama. Banyaknya kelas di setiap jadwal kursus sanggup disajikan dalam dua tabel berbeda dengan makna sama berikut. Secara lebih sederhana, kedua tabel tersebut sanggup dituliskan ke dalam bentuk matriks berikut. Misalkan untuk tabel pertama dinamakan matriks Adan tabel kedua matriks B. Dengan demikian, bentuk matriks dari kedua tabel di atas yaitu π΄ ( 6 4 4 2 4 5 4 3 3 4 5 8 ) dan π΅ ( 6 4 3 4 5 4 4 2 4 3 5 8 ) Sekarang, ayo perhatikan setiap elemen pada kedua matriks tersebut, kemudian bandingkan. Kesimpulan apa yang akan didapat? Dengan membandingkan matriks A dan matriks B tersebut, Anda sanggup mengetahui bahwa elemen-elemen pada baris pertama matriks A merupakan elemen-elemen pada kolom pertama matriks B. Demikian pula dengan elemen-elemen pada baris kedua dan ketiga matriks Amerupakan elemenelemen pada kolom kedua dan ketiga matriks B. Dengan demikian, matriks B diperoleh dengan cara menuliskan elemen setiap baris pada matriks A menjadi elemen setiap kolom matriks B. Matriks yang diperoleh dengan cara ini dinamakan sebagai matriks transpos. Ayo Analisis Misalkan A matriks sebarang. Transpos matriks A yaitu matriks B yang disusun dengan cara menuliskan elemen setiap baris matriks A menjadi elemen setiap kolom pada matriks B. Transpos dari matriks A di lambangkan dengan B = π΄π‘ (dibaca: A transpos), B = π΄′ (dibaca: A aksen) atau B = π΄(dibaca: putaran A) Definisi
15. Berdasarkan definisi transpos matriks, jikalau Anda mempunyai matriks A yang berordo m × n maka transpos A, yaitu mempunyai ordo n × m. a) Jika (3 5 −1 , maka transpos dari P yaitu ′ ( 3 5 −1 ) b) Jika 7 2 −4 −3 , maka transpos dari Q yaitu ′ 7 −4 2 −3 c) Jika ( 9 7 −11 5 3 2 ), maka transpos dari R yaitu 9 −11 3 7 5 2 d) Jika ( 2 3 −1 6 3 3 4 −2 −1 6 4 −2 9 1 1 8 ) maka transpos dari S yaitu ′ ( 2 3 −1 6 3 3 4 −2 −1 6 4 −2 9 1 1 8 ) Sebagai akhir dari definisi di atas, jikalau A yaitu matriks simetris maka transpos dari matriks A sama dengan A itu sendiri atau . Transpos dari matriks A berordo m × n yaitu sebuah matriks π΄π‘ berordo n × m yang disusun dengan proses sebagai berikut: Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam matriks π΄π‘ . Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks π΄π‘ . Baris ketiga matriks A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks π΄π‘ . demikian seterusnya Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks π΄π‘ . Contoh π π π‘ Perhatikan matriks S. Ternyata transpos dari matriks S sama dengan matriks S itu sendiri. Matriks S yang berciri demikian disebut matriks simetris atau matriks setangkup. Misalkan A yaitu matriks persegi berordo n. Matriks A disebut matriks simetris atau matriks setangkap jikalau dan hanya jikalau elemen-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama berinilai sama. Ditulis : πππ πππ dengan π ≠ π. Definisi
16. Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi kekerabatan π π‘ = Q, bila π π − 5 3π − π 4 3 6 7 dan π ( 2π − 4 3π π + 2π 2π 4 7 ) Ayo Berlatih Operasi pada MatriksF. Penjumlahan Matriks Di suatu kota terdapat dua toko meubel toko meubel ‘abadi’ dan toko meubel ‘Jaya’ . beberapa jenis meubel yang dijual di toko itu yaitu rak piring, almari dan kasur. Berikut ini yaitu persediaan meubel yang ada di kedua toko tersebut. Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 4 5 4 Toko ‘Jaya’ 2 9 3 Untuk menambah persediaan barang, kedua pedagang tersebut pada hari yang sama melaksanakan pembelian meubel-meubel gres yang jumlahnya disajikan pada tabel berikut. Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 11 7 8 Toko ‘Jaya’ 18 4 5 Berapa banyakkah pesediaan ketiga jenis meubel yang ada di masing-masing toko sesudah dilakukan pembelian tersebut? Untuk menjawab pertanyaan sangat gampang bagi Anda untuk mendapat jawabannya. Langkah yang dilakukan yaitu menjumlahkan banyaknya meubel pada persediaan awal dengan meubel yang dibeli sebagai penambahan persediaan. Tentu saja yang dijumlahkan harus homogen dan pada toko yang sama, contohnya banyak rak piring yang ada di toko ‘Abadi’ dijumlahkan dengan banyaknya banyak rak piring yang dibeli oleh toko ‘Abadi’ (yang dijumlahkan harus bersesuaian). Kedua tabel tersebut sanggup disederhanakan dan diubah ke dalam bentuk matriks. Selanjutnya melaksanakan pejumlahan matriks, yaitu yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak. Berikut definisi dari penjumlahan matriks. Jika A dan B yaitu dua matriks yang berordo sama maka jumlah dari matriks A dan B(ditulis A+ B) yaitu sebuah matriks gres yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang seletak (bersesuaian). Definisi
17. Kedua tabel pada uraian tersebut jikalau diubah ke dalam bentuk matriks dan dijumlahkan yaitu sebagai berikut: 4 5 4 2 9 3 11 7 8 18 4 5 + 4 5 4 2 9 3 + 11 7 8 18 4 5 4 + 11 5 + 7 4 + 8 2 + 18 9 + 4 3 + 5 15 12 12 20 13 8 Berdasarkan informasi dari penjumlahan matriks tersebut, diperoleh informasi persediaan meubel di kedua toko tadi yaitu ibarat disajikan pada tabel berikut: Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 15 12 12 Toko ‘Jaya’ 20 13 8 Misalkan A, B, C dan D yaitu matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan matriks : 1. Bersifat komutatif : A + B = B + A 2. Bersifat asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C) 3. Terdapat sebuah matriks identitas, yaitu matriks O (matriks nol) yang bersifat A + O = O + A = A 4. Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif A yang bersifat A + (-A) = O Sifat-sifat Penjumlahan Matriks Pengurangan Matriks Dari stok terakhir kedua toko meubel tadi, di hari berikutnya beberapa pelanggan tiba untuk membeli sejumlah meubel di masing-masing toko meubel tersebut. Dengan jumlah meubel yang terjual di hari itu yaitu : Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 3 8 2 Toko ‘Jaya’ 4 7 2 Berapa banyakkah sisa pesediaan ketiga jenis meubel yang ada di masing-masing toko sesudah dilakukan adanya pembelian di hari tersebut?
18. Sama halnya ibarat pada operasi penjumlahan matriks, pada operasi pengurangan matriks berlaku pula ketentuan kesamaan ordo antara matriks yang bertindak sebagai matriks pengurang dan matriks yang akan dikurangi. Pada kasus tadi, maka diperoleh : Stok awal = 15 12 12 20 13 8 Penjualan = 3 8 2 4 7 2 − 15 12 12 20 13 8 + 3 8 2 4 7 2 15 − 3 12 − 8 12 − 2 20 − 4 13 − 7 8 − 2 12 4 10 16 6 6 Jika A dan B yaitu dua matriks yang berordo sama maka pengurangan matriks A oleh matriks B (ditulis A- B) yaitu sebuah matriks gres yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang seletak (bersesuaian). Definisi Pada pengurangan matriks berlaku sifat antikomutatif, dimana : π΄ − π΅ ≠ π΅ − π΄ Perkalian Suatu Bilangan Real terhadap Matriks Dalam aljabar, perkalian terhadap suatu bilangan merupakan penjumlahan berulang dari bilangan tersebut. Misalnya, perkalian berikut. 2π π + π ππ π + π + ⋯ + π Dalam matriks pun berlaku ketentuan ibarat itu. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Misalkan π» 2 −1 0 1 , tentukan 2H dan -2H 2π» π» + π» 2 −1 0 1 + 2 −1 0 1 = 2 + 2 −1 + (−1 0 + 0 1 + 1 = 2 2 2 (−1 2 0 2 1 Jadi, matriks 2H yaitu matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan matriks H dengan matriks H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian 2 dengan setiap elemen pada matriks H. Sebanyak k buah
19. Jika A sebarang matriks, dan k sebarang bilangan real maka kA yaitu sebuah matriks gres yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian kdengan setiap elemen matriks A. Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Definisi −2π» −π» + (−π» −π» − π» − 2 −1 0 1 − 2 −1 0 1 = −2 1 0 −1 + −2 1 0 −1 = ( −2 + (−2 1 + 1 0 + 0 −1 + (−1 ) = −2 2 −2 (−1 −2 0 −2 1 Jadi, matriks –2H yaitu matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan matriks –H dengan matriks -H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian –2 dengan setiap elemen pada matriks H. Diketahui matriks-matriks berikut π΄ 3 9 −1 2 π΅ 7 −3 2 1 Tentukan : 1. (2+3)A 4. 2A+3A 2. 3(A+B) 5. 3A+3B 3. 3(2A) 6. 6A Ayo Berlatih Penyelesaian : 1. (2+3)A = 5 3 9 −1 2 = 15 45 −5 10 2. 3(A+B) = 3 ( 3 9 −1 2 + 7 −3 2 1 ) = 3× 10 6 1 3 = 30 18 3 9 3. 3(2A) = 3 ×(2 3 9 −1 2 ) = 3 × 6 18 −2 4 = 18 54 −6 12 4. 2A+3A = 2× 3 9 −1 2 +3× 3 9 −1 2 = 10 18 −2 4 + 15 27 −3 6 = 15 45 −5 10 4. 3A+3B = 3× 3 9 −1 2 + 3 7 −3 2 1 = 9 27 −3 6 + 21 −9 6 3 = 30 18 3 9 5. 6A = 6 3 9 −1 2 = = 18 54 −6 12
20. Penyelesaian dari permasalahan tersebut sanggup diselesaikan dengan memakai aljabar biasa atau memakai matriks. Dalam hal ini, permasalahan tersebut akan diselesaikan memakai matriks, sebagai pengantar untuk memahami perkalian matriks yang akan Anda pelajari.Langkah pertama yaitu menuliskan model dari persoalan tersebut menjadi bentuk matriks, sehingga diperoleh: Data banyaknya bolpoin dan buku yang dibeli oleh Riki dan Fera (dinyatakan oleh matriks P), yaitu 3 2 2 5 Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu 1000 2500 Elemen baris pertama dan kolom pertama matriks P menyatakan banyak nya bolpoin yang dibeli Riki, sedangkan elemen baris pertama dan kolom pertama matriks Qmenyatakan harga bolpoin. Dengan demikian, untuk mengetahui harga beli semua bolpoin yang dibeli Riki yaitu dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom pertama matriks P dengan elemen baris pertama kolom pertama matriks Q. Dalam hal ini, (3)(1.000). Begitu pula untuk harga beli buku yang dibeli Riki, yaitu dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom kedua matriksPdengan elemen baris kedua kolom pertama matriks Q, dalam hal ini (2)(2.500). Harga belanjaan yang dibayar Riki yaitu penjumlahan dari hasil kali tadi, yaitu (3)(1.000) + (2)(2.500) Misalkan p dan q yaitu bilangan real, A dan B yaitu matriks-matriks berordo m×n, maka perkalian bilangan real dengan matriks memenuhi sifat-sifat sebagai berikut 1. (p+q)A=pA+qA 3. p(qA) = pq(A) 5. (-1)A=-A 2. p(A+B)=pA+pB 4. 1A=A Sifat-sifat Perkalian suatu Bilangan Real terhadap Matriks Perkalian Matriks Riki dan Fera membeli alat tulis di koperasi sekolah. Riki membeli 3 buah bolpoin dan 2 buku, sedangkan Fera membeli 2 buah bolpoin dan 5 buku. Jika harga sebuah bolpoin Rp1.000,00 dan harga sebuah buku Rp2.500,00, berapakah harga belanjaan yang harus dibayar oleh masingmasing siswa tersebut? Permasalahan tersebut sanggup disajikan dalam bentuk tabel berikut:
21. = 3.000 + 5.000 = 8.000. Jadi, harga belanjaan Riki Rp8.000,00. Tentukan harga belanjaan yang harus dibayar oleh Fera? Dari uraian tersebut, sanggup Anda ketahui bahwa untuk mendapat besarnya harga belanjaan kedua siswa tersebut yaitu dengan cara mengalikan matriks P dan Q, sebagai berikut: 3 2 2 5 1000 2500 3 1000 + 2 2500 2 1000 + 5 2500 8000 14500 Perkalian tersebut dinamakan perkalian matriks. Ketentuan yang harus Anda ingat, yaitu perkalian dua matriks sanggup dilakukan apabila banyaknya kolom pengali (matriks pertama yaitu P) sama dengan banyaknya baris matriks yang dikalikan (matriks kedua yaitu Q). Dari uraian diketahui bahwa ordo P2 × 2 dan Q2 × 1 dan hasil kalinya berordo 2 × 1. (2 2 (2 1 (2 Secara umum, jikalau matriks Pberordo m× pdan matriks Q berordo p× n maka matriks hasil kali PQ berordo m× n. Definisi Perkalian Matriks Dua buah matriks Adan Bdapat dikalikan (ditulisAB) jikalau banyak kolom pada matriks Asama dengan banyak baris pada matriks B. Elemen-elemen pada matriks AB diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen baris pada matriks Adengan elemen kolom pada matriks B. Definisi Ordo hasil Sama Diketahui matriks-matriks berikut π −1 0 2 1 π −3 1 5 7 π
2 5 −1 4 −3 0 π 4 1 7 2 Tentukan : 1. PQ 2. QR 3. RP 4. QP 5. P(QS) 6. (PQ)S Ayo Berlatih
22. Pada kepingan sebelumnya, Anda telah mengenal matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Pembahasan materi determinan matriks persegi yang dibahas di materi kali ini dibatasi hanya hingga matriks 3 ×3 Matriks berordo 2 ×2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada kepingan ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 ×2. Misalkan Aadalah matriks persegi ordo 2 ×2 dengan bentuk A= Berdasarkan defi nisi determinan suatu matriks, Anda sanggup mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu: Pada kepingan ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 ×3. Misalkan A matriks persegi berordo 3 ×3 dengan bentuk ( ) Untuk mencari determinan dari matriks persegi berordo 3 ×3, akan dipakai suatu metode yang dinamakan metode Sarrus. Adapun langkahlangkah yang harus Anda lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 ×3 dengan metode Sarrusadalah sebagai berikut: Determinan MatriksG. Determinan Matriks Persegi Determinan Matriks 2 ×2 Determinan matriks Adi definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks Adinotasikan dengan det Aatau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. Definisi Determinan Matriks 3 ×3
23. 1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda determinan. 2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar). Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan D11 | | D11= + + 3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan D1 | | D11= + + 4. Sesuai dengan defi nisi determinan matriks maka determinan dari matriks Aadalah selisihantara D1 dan D11 yaitu D11-D1 det | | = + + − ( + + Invers MatriksH. Ketika di SMP, Anda telah mempelajari operasi hitung pada bilangan. Pada ketika mempelajari konsep tersebut, Anda dikenalkan dengan istilah invers (kebalikan) bilangan. Suatu bilangan jikalau dikalikan dengan inversnya akan menghasilkan unsur identitas. Senada dengan hal tersebut, dalam aljabar matriks pun berlaku ketentuan ibarat itu. Ketika Anda mengalikan suatu matriks dengan matriks inversnya, akan dihasilkan identitas, yang dalam hal ini yaitu matriks identitas.Sebagai gambaran bagi Anda, perhatikanlah perkalian matriks-matriks berikut. Misalkan A=• −3 −1 5 2 dan B −2 −1 5 3 AB= −3 −1 5 2 −2 −1 5 3 = 6 − 5 3 − 3 −10 + 10 −5 + 6 = 1 0 0 1 πΌ2 Perkalian AB menghasilkan πΌ2 (matriks identitas berordo 2 x 2) −7 2 1 −2
• 24. Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus Anda ingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks Bmenghasilkan matriks identitas (AB= I ) Ini mengatakan matriks Bmerupakan matriks invers dari matriks A, yaitu B= A–1 atau sanggup juga dikatakan bahwa matriks Amerupakan invers dari matriks B, yaitu A= B–1 . Begitu pulauntuk perkalian matriks Pdan matriks Q berlaku hal serupa. Misalkan Adan Badalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan AB= BA= I2 maka matriks A yaitu matriks invers dari matriks B atau matriks B yaitu matriks invers dari matriks A. Definisi Misalkan P=• −7 2 4 1 dan Q 1 −2 4 −7 PQ= −7 2 4 1 1 −2 4 −7 = −7 + 8 14 − 14 −4 + 4 8 − 7 = 1 0 0 1 πΌ2 Perkalian PQ menghasilkan πΌ2
• 24. Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus Anda ingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks Bmenghasilkan matriks identitas (AB= I ) Ini mengatakan matriks Bmerupakan matriks invers dari matriks A, yaitu B= A–1 atau sanggup juga dikatakan bahwa matriks Amerupakan invers dari matriks B, yaitu A= B–1 . Begitu pulauntuk perkalian matriks Pdan matriks Q berlaku hal serupa. Misalkan Adan Badalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan AB= BA= I2 maka matriks A yaitu matriks invers dari matriks B atau matriks B yaitu matriks invers dari matriks A. Definisi Misalkan P=• −7 2 4 1 dan Q 1 −2 4 −7 PQ= −7 2 4 1 1 −2 4 −7 = −7 + 8 14 − 14 −4 + 4 8 − 7 = 1 0 0 1 πΌ2 Perkalian PQ menghasilkan πΌ2
25. Setelah Anda memahami defi nisi invers matriks, selanjut nya akan diperlihatkan kepada Anda penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2 sebagai berikut. Misalkan A= dan B= . Jika B=A-1 , bagaimana antara elemen-elemen pada matriks A dan elemen-elemen pada matriks B? 1 0 0 1 ( + + + + ) 1 0 0 1 Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks, Anda peroleh + 1…(1) + 0…(2) + 0…(3) + 1…(4) Dengan menuntaskan sistem persamaan linear (1) dengan (3) dan (2) dengan (4), diperoleh: , , , s ( ) − − − − , dengan ad-bc≠0 Oleh lantaran ad-bc = det A, maka − − Misalkan A= π π π π , invers dari A yaitu π΄ , yaitu π΄ ππ ππ π −π −π π , dengan det A≠0
26. Pada kepingan sebelumnya telah dibahas perihal penyelesaian sistem persamaan linear dengan memakai metode grafik, metode eliminasi,dan metode substitusi. Pada kepingan ini, kita akan menuntaskan sistem persamaan linear tersebut dengan memakai matriks. Misalkan, sistem persamaan linear berikut: + + Sistem persamaan linear tersebut sanggup kita tuliskan dalam persamaan matriks berikut: Persamaan matriks ini sanggup kita selesaikan dengan memakai sifat berikut: Aplikasi MatriksI. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Misalkan p dan q yaitu bilangan real, A dan B yaitu matriks-matriks berordo m×n, maka memenuhi sifat-sifat sebagai berikut 1. AB ≠ BA Tidak komutatif 2. 2. A(BC) = (AB)C Asosiatif 3. 3. A(B+ C) = AB+ AC Distributif 4. 4. (A+ B)C= AC+ BC Distributif 5. 5. k(AB) = kA(B) = A(kB) Asosiatif 6. 6. IA= AI= A Perkalian dengan Identitas 7. (π΄ + π΅ π‘ π΄π‘ + π΅ π‘ 8. (π΄π‘ π‘ π΄ 9. (ππ΄ π‘ ππ΄π‘ , k yaitu konstanta 10. (π΄π΅ π‘ π΅ π‘ π΄π‘ 11. π΄ ππ ππ π −π −π π Misalkan Adan Badalah matriks sebarang yang mempunyai invers, AB dan BA juga mempunyai invers maka berlaku kekerabatan berikut. 1. (AB)–1 = B–1 • A–1 2. (BA)–1 = A–1 . B–1 Sifat-sifat Matriks
27. 1. Jika AX=B, maka X=A-1 B, dengan |A|≠0 2. Jika XA=B, maka X=B-1 A, dengan |A|≠0 Matriks sanggup dipakai dalam penentuan persamaan reaksi lantaran persamaan reaksi merupakan penerapan aljabar linier.Persamaan yang dipakai yaitu : A v = 0 dengan A merupakan matriks dengan kolom mewakili n zat kimia dan m baris yang mewakili m unsur. Sedangkan v merupakan matriks stoikiometri yang kolomnya mewakili koefisien-koefisien zat-zat yang bereaksi dan 0 yaitu matriks 0 yang mengatakan bahwa dalam keadaan setimbang jumlah unsure yang bereaksi yaitu tetap. Penyelesaian matriks v tersebut memakai invers matriks. Matriks Fock atau lebih dikenal sebagai operator Fock yaitu matriks yang dipakai untuk menghitung kesetimbangan energi suatu elektron terhadap intinya. Pada perhitungan kimia kuantum memakai metode Hartree-Fock, perhitungan matriks Fock merupakan awal proses kalkulasi numerik berulang. - Setiap pehitungan keseimbangan energi satu elektron akan diwakili oleh satu Matriks Fock. - Dalam matriks Fock, tidak terkandung nilai energi elektron. Persamaan ini hanya mempunyai nilai rata-rata tolakan antar elektron. - Matriks Fock merupakan pendekatan dari operator Hamiltonian dan disebut operator Fock lantaran matriks ini nantinya dipakai dalam perhitungan kimia kuantum untuk orbital atom atau orbital molekul. Persamaan yang sering dipakai yaitu persamaan Roothaan dalam metode numerik. Penerapan nilai eigen terdapat dalam kimia kuantum, terutama yang berkenaan dengan struktur atom polielektron, teori orbital molekul, dan teori vibrasi molekul. Nilai eigen suatu matriks sanggup kalian pelajari pada pembahasan matris selanjutnya. Sebelum itu, kalian tetap harus menguasi konsep dasar matriks yang berada pada kepingan ini. Menentukan Persamaan Reaksi dengan Matriks Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Determinan matriks sanggup dipakai untuk memilih energi transisi Penggunaan Matriks Focks dalam Kimia Nilai Eigen dan Penerapannya dalam Kimia.
Related Posts